Botanischer Baum

Botanischer Baum

Botanischer Baum

Bäume sind natürliche Gebilde, aber leider weit weniger einfach als sie scheinen. Das hängt damit zusammen, dass sie nicht selbstähnlich sein können.

Zusätzlich zur fraktalen Dimension D der Zweige gibt es einen Parameter Δ (Delta), der Durchmesser-Exponent genannt wird.

Leonardo da Vinci behauptete, dass die Äste nach einer Gabelung zusammengenommen ebenso dick sein müsse, wie der Ast vor der Gabelung.

Formal als Gleichung ausgedrückt hieße das: Die Durchmesser d, d1 und d2 der Zweige eines botanischen Baumes vor und nach einer Verzweigung genügen der Bedingung

{\it d^\Delta} = d_{1}^\Delta + d_{2}^\Delta

mit dem Exponenten Δ = 2. Daraus ergibt sich, sofern die Dicke der Zweige mit berücksichtigt werden, dass botanische Bäume nicht selbstähnlich sind.

Die Selbstähnlichkeit fordert Δ = D, fast raumfüllend lässt dagegen nur ein D nahe E = 3 (euklidische Dimension) zu.

Gegenwärtig deutet alles darauf hin, dass der Durchmesser-Exponent etwas kleiner als Δ = 2 ist.

Für ein D = 3 und Δ = 2 ergeben sich interessante Schlussfolgerungen:

  1. Die Gesamtoberfläche der Blätter eines Zweiges ist proportional sowohl zum Volumen innerhalb der Umrisse des Zweiges als auch zum Querschnitt des Zweiges.
  2. Der Quotient (Baumhöhe)³/(Stammdurchmesser)² für jede Spezies konstant und gleich dem Quotienten (lineare Ausdehnung des von einem Zweig beanspruchten Raumes)³/(Zweigdurchmesser)² ist.
  3. Die Kraft, die der Wind auf einen kahlen (bzw. belaubten) Baum ausübt, etwa proportional zur Zweigoberfläche (bzw. Zweig- und Blattoberfläche) ist und damit in diesem Modell proportional zur (Höhe)³.
  4. Die Widerstandsfähigkeit proportional zum (Durchmesser)² ist.

Die folgende Abbildung zeigt einen stark vereinfachten Baum, der mit Hilfe des Lindenmayer-Systems generiert wurde.

Mittels L-System generierter Baum

Mittels L-System generierter Baum